괴델, 에셔, 바흐, GEB (더글러스 호프스태터) 요약 및 서평 독후감2010. 4. 28. 16:10
1. 저자소개 : 더글러스 호프스태터 Douglas R. Hofstadter.
1945년 뉴욕에서 출생한 호프스태터는 1961년 노벨 물리학상을 수상한 독일계 할아버지 로버트 호프스태터의 학문적 자질을 이어받아 일찍이 과학자의 길로 접어들어서 1965년 스탠퍼드 대학교를 졸업했고 1975년에는 오리건 대학교에서 물리학 박사학위를 받았다.
인디애나 대학교 컴퓨터 과학과의 조교수를 지냈으며, 미시간 대학교 심리학과에서는 인공지능 연구에 몰두했다. 독일 레겐스부르크 대학교, 미국 인디애나 대학교와 MIT 등 여러 대학교의 객원교수를 역임했으며, 현재는 미시간 대학교와 인디애나 대학교에서 인지과학 및 컴퓨터 과학과 교수로 재직하면서 프린스턴 대학교와 하버드 대학에서 과학철학, 비교문학, 심리학 분야의 객원교수로 활동하면서 르네상스적인 천재성을 유감없이 발휘하고 있다.
전문가 경지의 음악적인 실력은 물론 독일어와 프랑스어, 이탈리아어, 스페인어, 네덜란드어, 러시아어, 스웨덴어를 구사하는 언어천재이기도 하다. 아마 과학계의 움베르토 에코라고 불릴 수 있을 것이다. 호프스태터는 이 책으로 1980년에 퓰리처 상 일반 논픽션 부문을 수상했고, 역시 같은 해에 미국 도서대상(American Book Awards)을 받았다.
2. 목차
<상권>
서론 - 음악 (논리학의 헌정 : 3성 인벤션)
1. MU-수수께끼 - 2성 인벤션
2. 수학에서의 의미와 형식 - 무반주 아킬레스를 위한 소나타
3. 전경과 배경 - 두문자향렬 대위법
4. 무모순성, 완전성 그리고 기하학 - 작은 화성의 미로
5. 재귀적인 구조와 재귀순환적인 과정 - 음정확대에 의한 카논
6. 의미는 어디에 자리잡고 있는가 - 반음계 환상곡과 반목
7. 명제계산 - 게 카논
8. 활자형 수론 - MU의 헌정
9. 무몬과 괴델
10. 기술층위와 컴퓨터 체계 - ...과 개미 푸가
11. 두뇌와 사고
<하권>
1. 정신과 사고 - 다양한 변주가 딸린 아리아
2. Bloop과 Floop과 Gloop - G 선상의 아리아
3. TNT 및 그것과 연관된 체계들의 형식적으로 결정 불가능한 명제
4. 체계로부터 벗어나기
5. 재귀.준거와 재귀.증식 - 숭고한 게
6. 처치, 튜링, 타르스키 등
7. 인공지능 : 회고 - 반사실
8. 인공지능 : 전망 - 나무늘보 카논
9. 이상한 고리 또는 헝클어진 위계질서 - 6성 리체르카레
3. 책 내용
1) 이 책 제목은 붙어있는 세 천재 ‘괴델, 에셔, 바흐’의 머리글자를 따서 만든`GEB`이다. 요한 세바스찬 바흐(1685∼1750)는 자신의 작품에 감춰둔 대위법의 신비로운 비밀을 카논과 푸가를 통해 드러낸다. 오스트리아의 수학자 쿠르트 괴델(1906∼1978)은 불완전성의 정리를 발견한 인물이다. 그는 수학적 정리의 불완전성과 거짓말-모순의 과정을 수학자체의 영역에서 규명했다.
불완전성의 정리를 통해 수학이 누려온 원초적 자명성을 부정한 그의 정리는 현대수학 전체의 뿌리를 뒤흔드는 충격적인 사건으로 평가된다. 네덜란드의 괴짜 화가 코르넬리스 에셔(1898∼1972)는 일생동안 물고 물리는 이상한 고리의 모순을 시각화한 인물이다. 대표작으로는 무한동력을 2차원으로 표현한「폭포」(1961),「올라가기와 내려가기」(1960), 「손을 그리는 손」(1948) 등이 있다.
2) 책의 요점은 진리의 모순성을 드러내는 데 있다. 저자는 이 진리-거짓말이란 모순을 밝히기 위해 이미 자신의 작업을 통해 이 비밀을 알아차렸다고 생각되는 세 천재의 작품을 살피고 있다. 저자가 34살 때인 지난 79년 펴낸 이 책은 수학 이론에 관한 책으로는 이례적으로 돌연변이 같은 인기를 끌었다.
출간 다음해에 일반 논픽션 부문의 퓰리처상을 받았고, 같은 해에 미국도서대상까지 끌어안았다. 그도 그럴 것이 이 책은 쿠르트 괴델이라는 현대수학자를 중심에 놓고, 전혀 어울릴 것 같지 않은 같은 인물, 곧 음악가 요한 제바스티안 바흐와 화가 마우리츠 코르넬리스 에셔를 끌어들여, 세 가닥을 하나로 엮는 `황금 노끈`을 꼬아 놓았다.
지적 탐식증에 걸린 사람들이 게걸스럽게 달려들 수 있는 사유의 만찬을 제공한 셈이다. 이 세 사람이 결합되는 지점은 에피메니데스가 내비친 바 있는, 재귀준거적인, 다시 말해, 자기에게로 되돌아오는 ‘이상한 고리’ 또는 ‘헝클어진 위계질서’다.
3) 지은이는 먼저 바흐의 명작 <음악의 헌정>에 나오는 ‘카논’이라는 엄격한 형식의 대위법적 악곡에서 그 예시를 찾아낸다. 카논에서 바흐는 기괴한 형식을 실험했다. 다장조에서 시작하는 카논은 청중이 거의 알아차리기 어려울 정도로 교묘히 조바꿈을 하며 다섯 단계를 차례로 뛰어올라 다시 다장조로 되돌아온다. 바흐는 이 되풀이가 영원히 계속될 수 있음을 암시했다.
4) 무한히 상승하는 카논의 회화적 동형관계는 에셔의 그림에서 발견된다. 에셔는 착시현상을 이용해 모호하고 역설에 찬 공간 또는 평면을 만들어냈는데, 그 하나가 <폭포>라는 판화다. 이 작품을 보면 폭포에서 떨어진 물이 구불구불 흘러 다시 제 자리로 돌아와 폭포수로 떨어진다. 내려가면서 동시에 올라가는 ‘이상한 고리’를 만든 셈이다.
5) 이제 지은이는 바흐와 에셔의 세계를 괴델의 ‘불완전성 정리’에서 확인한다. 고대 철학자 에피메니데스의 이 역설을 수학적으로 확장시킨 것은 20세기 오스트리아 수학자 쿠르트 괴델이다. ‘모든 정합적인 형식체계 속에는, 그 내부에서는 참-거짓이 결정될 수 없는 명제들이 들어있다’ 괴델이 젊은 시절에 내세운 이 ‘불완전성의 정리’를 따를 때 완결된 진리의 체계란 없다.
크레타 섬 안에서 크레타 사람이 거짓말쟁이인지 아닌지 알 수 없는 것처럼, 하나의 공리에서 파생된 명제로 이루어진 단순한 체계라고 해도 참-거짓을 따질 수 없는 명제를 갖고 있다. "모든 크레타 사람은 거짓말쟁이이다"라는 명제는 "이 문장은 거짓이다"라는 명제로 바꿀 수 있다.
이 명제는 다시 "A : 다음 문장(B)은 거짓이다"와 "B : 앞의 문장(A)은 참이다"의 두 명제로 분리 가능하다. 두 명제는 제각기 의미가 완전하며 패러독스가 없다. 그러나 두 명제가 합쳐지면 에피메니데스 패러독스와 똑같은 효과를 나타내므로 이상한 고리 현상이 나타난다는 것이다.
1931년 발표된 괴델의 정리를 요약하면 이렇다. ‘수론(수에 관한 총체적인 이론)의 모순 없는 공리 체계들은 반드시 결정 불가능한 명제를 포함한다’ 참이지만 증명이 불가능한 식을 제시하였다. 이 명제는 괴델의 선배 러셀과 화이트헤드가 내놓은 ‘수학원리’를 겨냥한 것이었다.
모든 수학적 진리를 자신의 체계 안에서 입증하고자 한 ‘수학원리’의 야심찬 포부는 괴델의 정리로 허물어졌다. ‘수학원리’가 허점투성이임이 폭로된 것이다. 결정적인 것은 이 허점을 증명하는 데 <수학원리> 내부의 방법론만이 쓰였다는 사실이다. 여기서 또다시 ‘이상한 고리’가 형성된다.
6) 이렇게 음악, 미술, 수학에서 이상한 고리의 사례를 발견한 호프스태터는 이것을 사람의 두뇌와 마음에 대한 견해로까지 밀고 나아간다. 그는 몸과 마음을 분리시켜 생각하는 이원론적 접근방법으로는 사람의 마음이 뇌에서 출현하는 이유를 결코 설명할 수 없다고 주장하고, 뇌와 마음을 서로 다른 수준으로 구분시키는 방법론에 의해 뇌 속에서 의식이 생성되는 것을 설명하고자 한다.
이런 맥락에서 마음을 컴퓨터의 소프트웨어, 두뇌를 하드웨어에 비유하고 두뇌가 떠받들고 있는 마음에서 의식이 출현하는 것처럼 컴퓨터 역시 하드웨어의 지원을 받는 소프트웨어에서 의식을 만들어내는 이상한 고리 현상이 발생할 수 있다고 주장한다. 요컨대 컴퓨터가 사람처럼 마음을 가질 가능성이 있다는 뜻이다.
호프스태터는 현재 미국 유수의 대학들에서 인지과학•컴퓨터과학•과학철학•비교문학•심리학 교수로 활동하는 전방위적 지식인이다. 세 지성에게서 시작한 그의 탐험은 논리학, 생물학, 인공지능, 심지어 선불교에까지 이르며 이상한 고리들을 건져올린다. 지적 고통과 쾌감을 동시에 유발시키는 이 책의 여정은 과학적 사유의 결점들로 이루어진 풍경 속으로 독자를 이끈다.
7) 마지막 부분인 ‘인공지능 전망’에 이르러 컴퓨터 프로그램이 음악을 작곡할 수 있을까?, 정서를 기계에 프로그래밍해 넣을 수 있을까?, 천하무적의 체스 프로그램이 나올까?, 인공지능 프로그램은 인간과 동일해질까? 등등과 같은 열 개의 질문을 던져 놓는다.
이 질문들 중에서 일부는 이미 우리 생활에서 보편화되고 있는 형태로까지 나아간 것도 있지만 이 책이 쓰여진 게 1979년이라는 걸 감안하면, 그의 이 질문들은 선구적이었다고 할 수 있다.
자료정리 : 황아영 yayings@naver.com
출처: SPR 경영연구소
